P
|
E
|
N
|
G
|
E
|
R
|
T
|
I
|
A
|
N
|
A
|
L
|
-
|
J
|
A
|
B
|
A
|
R
|
Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang
berarti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan")
adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan
perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur
aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam
sebuah bidang.
Aljabar
(Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan
kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol
(biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai
sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili
bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi
mempunyai x buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi,
maka dalam aljabar, buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan
menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan
umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas,
sehingga kita dapat menemukan pola umumnya
Aljabar
adalah penggabungan teori bilangan-bilangan rasional, irasional, dan geometri.
Konsep ini memberikan dimensi dan pengembangan teori matematika yang
benar-benar baru dibandingkan teori-teori sebelumnya. Aljabar pulalah yang
menjadi dasar pijakan pengembangan teori matematika selanjutnya. Aspek penting
lain dari teori aljabar adalah dimungkinkannya penerapan matematika untuk
bidang keilmuan eksak lainnya yang belum pernah terjadi di masa lalu
A
|
S
|
A
|
L
|
-
|
U
|
S
|
U
|
L
|
A
|
L
|
-
|
J
|
A
|
B
|
A
|
R
|
Asal mula
Aljabar dapat ditelusuri berasal dari Babilonia Kuno yang mengembangkan system
matematika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara
yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka
mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak
diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, persamaan Kuadrat dan
Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir dan kebanyakan bangsa
India, Yunani, serta Cina dalam melenium pertama belum masehi, biasanya masih
menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti
yang disebutkan dalam “the Rhind Mathematical Papyrus”, “Sulba Sutras”,
“Eucilid’s Elements” dan “The Nine Chapters on the Mathematical Art”. Hasil
bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab elemen, menyediakan
kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula metematika di luar solusi
khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk
menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Seperti telah
disinggung di atas istilah “aljabar” berasal dari kata Arab “al-jabr” yang
berasal dari kitab “Al-Kitab aj-jabr wa al-Muqabala” (yang berarti “The
Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”) Yang ditulis oleh
matematikawan Persia Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi. Kata “Al-Jabr” sendiri
sebenarnya berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di zaman
Hllenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai “Bapak Aljabr”,
walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan, siapa
sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?.
Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada
prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan
penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka
yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah
masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’,
karya Diophantus tetapi ilmuwan yang
bernama R Rashed dan Angela Armstrong dalam karyanya bertajuk The Development
of Arabic Mathematics, menegaskan bahwa Aljabar karya Al-Khawarizmi memiliki
perbedaan yang signifikan dibanding karya Diophantus, yang kerap disebut-sebut
sebagai penemu Aljabar. Dalam pandangan ilmuwan itu, karya Khawarizmi jauh
lebih baik di banding karya Diophantus.
Al-Khawarizmi
yang pertama kali memperkenalkan aljabar dalam suatu bentuk dasar yang dapat
diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Sedangkan konsep aljabar Diophantus
lebih cenderung menggunakan aljabar sebagai alat bantu untuk aplikasi teori
bilangan.
Para sajarawan
meyakini bahwa karya al-Khawarizmi merupakan buku pertama dalam sejarah di mana
istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin ilmu. Kondisi ini dipertegas dalam pembukuan, formulasi
dan kosakata yang secara teknis merupakan suatu kosakata baru.
Ilmu pengetahian aljabar sendiri sebenarnya merupakan penyempurnaan
terhadap pengetahuan yang telah dicapai oleh bangsa Mesir dan Babylonia. Kedua
bangsa tersebut telah memiliki catatan-catatan yang berhubungan dengan masalah
aritmatika, aljabar dan geometri pada permulaan 2000 SM. Dalam buku Arithmetica
of Diophantus terdapat beberapa catatan tentang persamaan kuadrat. Meskipun
demikian persamaan yang ada belum terbentuk secara sistematis, tetapi terbentuk
secara tidak sengaja melalui penyempurnaan kasus-kasus yang muncul. Karena itu,
sebelum masa al-Khawarizmi, aljabar belum merupakan suatu objek yang secara
serius dan sistematis dipelajari.
T
|
O
|
K
|
O
|
H
|
A
|
L
|
-
|
J
|
A
|
B
|
A
|
R
|
a.
Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia adalah yang pertama kali yang
mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab al-jabr wa-l-Muqabala”
kitab ini merupakan karya yang sangat monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan
seorang ahli matematika dari Persia yang dilahirkan pada tahun 194 H/780 M,
tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan.
b.
Al-Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak ternilai.
Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh jadi dunia
dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang mencatat, al Qalasadi
merupakan salah seorang matematikus Muslim yang berjasa memperkenalkan
simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada
abad 14 oleh Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi,
al-Qalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan karakter
dari alphabet Arab.Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk penambahan (+),
untuk pngurangan (-), al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan
untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala yang
berarti ”bagi” digunakan untuk pembegian (/).
c. Nikolai
Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari
1856) adalah matematikawan
Rusia.
Ia terutama dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides
(independen dari hasil karya János Bolyai)
yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode hampiran akar persamaan aljabar yang
dikenal dengan nama Metode Dandelin-Gräffe
d.
Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī
(1135-1213) adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din
mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait, seperti
bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa makalah
tentang aljabar. Dia memberikan metode yang
kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar persamaan
kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh para
matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari sebuah
bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan metode ini
untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-Mu'adalat (Tentang
Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan
kubik dan yang pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang
penting dalam kalkulus
diferensial
e.
Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun Aljabar
Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik.
f.
Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia
mengambangkan tentang determinan.
g.
Robert Recorde adalah seorang yang memperkenalkan tanda “=” yang
terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada tahun
1557.
S
|
E
|
J
|
A
|
R
|
A
|
H
|
A
|
L
|
-
|
J
|
A
|
B
|
A
|
R
|
Sejarah
Aljabar dimulai di zaman Mesir Kuno dan Babylonia, dimana
telah
dikenal rumus bilangan linear dan quadrat. Ahli2 Matematik dari
Alexandria (Mesir Kuno)
meneruskan tradisi ilmuwan Mesir Kuno dan Babylonia, dan
mengembangkannya dengan lebih jauh lagi dengan rumus-rumus persamaan
tidak tetap.
dikenal rumus bilangan linear dan quadrat. Ahli2 Matematik dari
Alexandria (Mesir Kuno)
meneruskan tradisi ilmuwan Mesir Kuno dan Babylonia, dan
mengembangkannya dengan lebih jauh lagi dengan rumus-rumus persamaan
tidak tetap.
Dijaman
perkembangan Islam sekitar abad ke-9 Masehi, ahli matematika
Arab Al Khwarizmi menuliskan versi Aljabar dalam bahasa Arab. Dalam
masa itu seorang ahli perbintangan, penulis puisi dan matematika Parsi,
Omar Khayam mampu menjabarkan akar pangkat tiga dalam bentuk sketsa
gambar kerucut tapi belum mampu menemukan rumus pemecahannya.
Arab Al Khwarizmi menuliskan versi Aljabar dalam bahasa Arab. Dalam
masa itu seorang ahli perbintangan, penulis puisi dan matematika Parsi,
Omar Khayam mampu menjabarkan akar pangkat tiga dalam bentuk sketsa
gambar kerucut tapi belum mampu menemukan rumus pemecahannya.
Terjemahan
Latin dari Aljabar muncul di abad ke 12 Masehi, dimana ahli
matematika Italia : Leonardo Fibonacci telah mampu menyodorkan cara
pemecahan rumus akar pangkat tiga. Di awal abad ke 16 Masehi, ahli-ahli
matematika Italia berhasil mengembangkan rumus akar tiga tersebut.
matematika Italia : Leonardo Fibonacci telah mampu menyodorkan cara
pemecahan rumus akar pangkat tiga. Di awal abad ke 16 Masehi, ahli-ahli
matematika Italia berhasil mengembangkan rumus akar tiga tersebut.
Buku
pertama yang mendekati matematika modern pertama ditulis oleh ahli
filsafat Perancis Rene Descartes tahun 1637, yang menemukan rumus
analisa geometri, akar persamaan negatif dan positif.
filsafat Perancis Rene Descartes tahun 1637, yang menemukan rumus
analisa geometri, akar persamaan negatif dan positif.
Aljabar
telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun yang lalu. Sejarah
mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun
yang lalu. Nama Aljabar berasal dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh
Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul ‘Al-Kitab al-Jabr
wa-l-Muqabala’ (yang berarti "The Compendious Book on Calculation by
Completion and Balancing"), yang menerapkan operasi simbolik untuk mencari
solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan kuadratik. Salah satu
muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa.
Beberapa abad yang lalu, ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton
(1642-17 27) menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan
aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal sebagai
Rumus Gravitasi Newton.
Aljabar
bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang
utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam
sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar
secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan,
konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat.
Sekarang
ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar
Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya.
Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung
dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan
elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang
sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan
seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
Peristiwa
lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada
pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh
Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz
sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier
secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan
hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak
dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada
masalah keterkonstruksian (constructibility)
Tahap-tahap perkembangan Aljabar simbolik secara garis
besar
sebagai berikut:
1.
- Aljabar Retorik (Rhetorical algebra), yang dikembangkan oleh bangsa Babilonia dan masih mendominasi sampai dengan abad ke-16;
- Aljabar yang dikontruksi secara Geometri, yang dikembangkan oleh Matematikawan Vedic India dan Yunani Kuno;
- Syncopated algebra, yang dikembangkan oleh Diophantus dan dalam ‘the Bakhshali Manuscript’; dan
- Aljabar simbolik (Symbolic algebra), yang titik puncaknya adalah pada karya Leibniz.
Klasifikasi Aljabar secara garis besar dapat dibagi
dalam beberapa kategori berikut ini:
a. Aljabar Elementer, yang mempelajari
sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam symbol sebagai konstanta
dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan matematika yang
melibatkan simbol-simbol.
Aljabar
Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa
yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika
Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi
Aritmatika (seperti +, -, x, ) muncul juga dalam aljabar, tetapi
disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan symbol (seperti a, x, y, ).
Hal ini sangat penting sebab: hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum
dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan
selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik
terhadap sifat-sifat sitem bilangan riil.
Dengan
menggunakan symbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan
kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variable yang tidak
diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x+1=10”)
. Hal ini juga mengijinkan kita untukmembuat relasi fungsional dari rumus-rumus
matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda mnjual x tiket, kemudian anda
mendapat untung 3x -10 rupiah, dapat dituliskan sebagaif(x) = 3x – 10, dimana f
adalah fungsi dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja”)
b. Aljabar
Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Stuktur
Aljabar semacam Grup, ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan
secara aksiomatis.
c. Aljabar Linier, yang mempelajari
sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matrik)
d. Aljabar Universal, yang mempelajari
sifat-sifat bersama dari semua Stuktur aljabar.
Dalam
studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan
Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan
telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar
tersebut dalam bidang Topologi.