Sejarah Teori Bilangan

SEJARAH TEORI BILANGAN

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Jenis bilangan-bilangan Sederhana

Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, ... dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, ..., keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.

Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat tak nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.

Teori bilangan

Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

Matematika prasejarah

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun. Pengkajian modern terhadap fosil binatang menunjukkan bahwa konsep ini tidak berlaku unik bagi manusia. Konsep ini mungkin juga menjadi bagian sehari-hari di dalam kawanan pemburu. Bahwa konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa zaman kini mengawetkan perbedaan antara "satu", "dua", dan "banyak", tetapi bilangan yang lebih dari dua tidaklah demikian.

Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM.Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun.menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.

Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima atau kalender lunar enam bulan. Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.

 Gambaran sejarah purbakala dari Matematika

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Awal Bilangan

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia:

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia:

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno:

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:

Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini, seperti yang tampak dalam gambar berikut:

                                          

                                 Perkembangan Teori Bilangan

Teori Bilangan Pada suku Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal

Sejarah Perkembangan Bilangan

A .    Zaman Pra Yunani Kuno

Zaman Pra Yunani kuno disebut juga Zaman batu, karena pada masa ini manusia masih menggunakan batu sebagai peralatan dan sisa peradapan manusia yang ditemukan pada masa ini antara lain :alat-alat dari batu tulang berulang hewan sisa beberapa tanaman gambar di gua-gua tempat penguburan tulang belulang manusia purba. Antara abad ke -15 sampai 6 SM, manusia telah menemukan besi, tembaga, dan perak untuk berbagai peralatan. Abad kelima belas Sebelum Masehi peralatan besi dipergunakan pertama kali di Irak, tidak di Eropa Tiongkok. Pada abad ke-6 SM di Yunani muncullah Filsafat. Pada zaman pra Yunani Kuno di dunia ilmu pengetahuan dicirikan berdasarkan  know how yang dilandasi pengalaman empiris. Disamping itu, kemampuan berhitung ditempuh dengan cara korespodensi satu - satu  atau proses pemetaan. Contoh cara menghitung hewan yang akan masuk dan keluar kandang dengan kerikil. Namun pada masa ini manusia sudah mulai memperhatikan keadaan alam semesta sebagai suatu proses alam. Dengan demikian lama kelamaan mereka juga memperhatikan  dan menemukan hal-hal seperti berikut :

1.      Gugus bintang dilangit sebagai suatu kesatuan. Gugusan ini kemudian diberi nama misalnya : Ursa Minor, Ursa Manyor, Pisces, Scorpio, dan lain-lain, yang sekarang dikenal dengan nama zodiac

2.      Kedudukan matahari dan bulan pada waktu terbit dan tenggelam, bergerak dalam rangka zodiak tersebut.

3.      Lambat laun dikenal pula bintang-bintang yang bergerak diantara gugusan yang sudah dikenal tadi, sehingga ditemukan planet Mercurius, Venus, Mars, Yupiter, dan Saturnus, disamping matahari dan bulan

4.      Akhirnya dapat pula dihitung waktu Bulan kembali pada bentuknya yang sama antara 28 sampai dengan 29 hari.

5.      Waktu timbul dan tenggelamnya matahari di cakrawala yang berpindah-pindah dan memerlukan kurang lebih 365 hari sebelum kembali kedudukan semula.

6.      Ketika mata hari timbul tenggelam sebanyak 365 kali, Bulan juga mengalami perubahan sebanyak 12 kali. Berdasarkan hal itu kelak ditemukan perhitungan kalender.

7.      Ditemukan pula beberapa gejala alam seperti gerhana, yang pada masa itu masih dihubungkan dengan mitologi-mitologi tertentu, sehingga menakutkan banyak orang.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada zaman ini ditandai oleh kemampuan :

a. Know how dalam kehidupan sehari-hari yang didasarkan pada pengalaman.

b. Pengetahuan yang berdasarkan pengalaman itu diterima sebagai Fakta dengan sikap receptive mind, keterangan masih dihubungkan dengan kekutan magis.

c. Kemampuan menemukan abjad dan sistem bilangan alam sudah menampakkan perkembangan pemikiran manusia ketingkat abstraksi.

d. Kemampuan menulis, berhitung, menyusun kalender yang didasarkan atas sintesis terhadap hasil abstraksi yang dilakukan.

e. Kemampuan meramalkan suatu peristiwa atas dasar peristiwa-peristiwa sebelumnya yang pernah terjadi

B.     Zaman Yunani Kuno

Tokoh filsafat pada zaman Yunani Kuno adalah Socrates (469 -399 SM), Plato (427-347 SM), dan Aristoteles (384-322 SM) Pidarta (2007). Zaman ini di pandang sebagai zaman keemasan filsafat, karena pada masa ini orang memiliki kebebasan untuk mengungkapkan ide-ide atau pendapatnya. Di zaman ini banyak sekali pendapat-pendapat para ilmuan seperti pendapat orang Yunani Kuno dan  Mesir Kuno tentang bilangan, penemuan angka nol maupun nilai tempat.

1.                                                                                              Bilangan.

Konsep bilangan pada awalnya hanyalah untuk kepentingan mereka menghitung dan mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan, bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan kehidupan. Tak heran lagi, bilangan senantiasa hadir dan dibutuhkan dalam sains, teknologi, dan ekonomi bahkan dalam dunia musik, dll. Dahulu, ketika orang primitif hidup di gua-gua dengan mengandalkan makanannya dari tanaman dan pepohonan di sekitar gua atau berburu untuk sekali makan, kehadiran bilangan, hitung menghitung, atau matematika tidaklah terlalu dibutuhkan. Tetapi, tatkala mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa banyak  persediaan makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan hitung menghitung. Pada awalnya cukuplah menggunakan konsep lebih sedikit dan lebih banyak untuk melakukan perhitungan. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupu-kupu yang berbeda banyaknya. Mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi, kepastian jumlah tentang milik seseorang atau milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan sederhana. Mula-mula, manusia menggunakan kerikil, menggunakan simpul pada tali, menggunakan jari jemarinya, atau memakai ranting untuk menyatakan banyak hewan dan kawanannya atau anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan. Ketika seseorang berfikir tentang bilangan dua, maka dalam benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya ada dua katak dan dua kepiting, dan selanjutnya kata ”dua” dilambangkan dengan ”2”. Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting, atau jari dirasakan tidak cukup praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggambarkan bilangan itu dalam suatu lambang. Lambang (simbol) untuk menulis sebuah bilangan disebut angka. Misalnya , orang Babilonia mengembangkan tulisan kuno berbentuk baji, yang menggambarkan lambang-lambang berbeda, menyerupai tongkat yang ujungnya tajam pada tanah liat basah yang dibentuk menjadi batu bata merah. Lambang bilangan yang dibentuk dari baji tersebut sepeti pada gambar:

C.    Zaman Modern

Pada bagian sebelumnya kita telah mengenal bagaimana suatu suku bangsa  membuat sebuah sistem penulisan bilangan (sistem numerasi) yang berlaku untuk bangsanya, seperti yang dikembangkan oleh Bangsa Yunani Kuno, dan bangsa Mesir Kuno dan lain-lain. Namun demikian pada zaman modern sekarang ini sistem penulisan bilangan yang dikenal dan dipakai oleh hampir setiap bangsa yang ada di dunia ini adalah sistem penulisan bilangan yang dikembangkan oleh bangsa Arab, dan sekarang ini dikenal dengan ”Angka Arab” dengan angka-angka pokoknya adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9, sedangkan angka-angka yang lebih dari 9, ditulis dengan angka-angka pokok tadi. Misalnya, bilangan sepuluh ditulis sebagai ”10” yaitu kombinasi angka 1 dan 0, demikian juga bilangan ”dua puluh empat” ditulis dengan ”24” yaitu kombinasi angka 2 dan 4.        

Dari sistem penulisan angka Arab tadi, kemudian orang-orang` mulai memberi nama-nama khusus terhadap bilangan-bilangan tertentu yang dikembangkan oleh bangsa Arab itu untuk suatu keperluan tertentu.

Macam – macam bilangan:

A.      Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.

Misal : ….-2,-1,0,1,2….

b      Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.

Misal : 1,2,3….

c      Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Misal : 0,1,2,3,….

d     Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

Misal : 2,3,5,7,11,13,…..

(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).

e      Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

Misal ; 4,6,8,9,10,12,….

f       Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan , dimana a dan b merupakan bilangan bulat).

Misal: 

g      Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.

Misal: π,  , log 7 dan sebagainya.

h      Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional

Misal:  dan sebagainya.

i        Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai . Jadi, jika i =   maka i²= -1

Misal: 

     

                     = 

                     =            2  i

                     = 2i

Jadi, .

j        Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.

Misal; 

Log 

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:

Ada pula penulisan angka yang dipergunakan oleh bangsa Yunani Kuno. Menulis bilangan dengan menggunakan huruf abjad yang mereka pakai  seperti tampak pada gambar:

Sekitar 3500 tahun S.M,Orang-orang Mesir kuno (Egypt) menggunakan Hieroglif untuk menuliskan bilangan-bilangan seperti tampak pada gambar:

Dalam perkembangan selanjutnya, angka hindu –Arab kuno ditemukan dalam manuskrip Sepanyol abad X dan menjadi cikal bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini seperti diperlihatkan pada gambar:

Pada abad ke 11, bangsa arab menulis lambang bilangan (angka) dari angka 1 sampai dengan 9 seperti yang ada dan terus dipakai sampai saat ini oleh orang-orang Islam diseluruh dunia seperti tampak pada gambar:

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:

Aplikasi Bilangan 

  

       Aplikasi Bilangan pada Bidang Komputer

Sistem Bilangan atau Number System adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4 sistem bilangan ini.

a.       Desimal (Basis 10)

Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan dasimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan

Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut Value dan Position Value. Absolut Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa diartikan sebagai berikut:

Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya: 183,75 yang dapat diartikan:

Aplikasi Bilangan pada Bidang Filosofi   

Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri. Objek material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat. Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.

Soal:
1.Apa definisi dari bilangan? dan sebutkan jenis bilangan sederhana?
2.Jelaskan gambaran sejarah purbakala dari matematika?
3.Pada awalnya bilangan digunakan untuk apa?
4.sebutkan macam-macam bilangan?
5.Jelaskan aplikasi bilangan dalam kehidupan sehari-hari?